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7.4 训练误差率的 optimism

原文	The Elements of Statistical Learning
翻译	szcf-weiya
发布	2016-09-30
更新	2024-09-12
状态	Done

讨论误差率的估计可能令人困惑，因为我们必须弄清楚哪些量是固定的哪些量是随机的．在我们继续之前，我们需要一些定义，详细阐述第 7.2 节的内容．给出训练集 $\cT=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_N,y_N)\}$，模型 $\hat f$ 的 泛化误差 (generalization error) 为

$$\Err_{\cal T} = \mathrm E_{X^0,Y^0}[L(Y^0,\hat f(X^0))\mid {\cal T}]\tag{7.15}\label{7.15}$$

注意到在表达式 $\eqref{7.15}$ 中训练集 $\cal T$ 是固定的．点 $(X^0,Y^0)$ 是新的测试点，从数据的联合分布 $F$ 中取的．对数据集平均得到 期望误差 (expected error)

$$\mathrm{Err} = \mathrm E_{\cal T}\mathrm E_{X^0,Y^0}[L(Y^0,\hat f(X^0))\mid {\cal T}]\tag{7.16}\label{7.16}$$

它更适合于统计分析．正如之前提到的，事实证明大部分方法能够有效估计期望误差而非 $\Err_{\cal T}$；这一点详见 7.12 节．

weiya 注：

这里原文为 $\E_{\cal T}$，但结合上下文此处应为 $\Err_{\cal T}$.

现在一般地，训练误差 (training error)

$$\overline{\err} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^NL(y_i,\hat f(x_i))\tag{7.17}\label{7.17}$$

会比真实误差 $\Err_{\cal T}$ 小，因为数据被同时用来拟合方法并且评估误差（见练习 2.9）．拟合方法一般适应于训练数据，因此 表面误差 (apparent error) 或训练误差 $\overline{\err}$ 是对泛化误差 $\mathrm {Err}_{\cal T}$过度的乐观估计．

weiya 注：Ex. 2.9

已解决，详见 Issue 176: Ex. 2.9.

部分差异是因为取值点的选取．值 $\Err_{\cal T}$ 可以看成是 样本外误差 (extra-sample error)，因为测试输入向量不需要与训练输入向量一致．当我们去关注 样本内误差 (in-sample error)，可以很简单地理解 $\overline{\err}$ 乐观估计的本质

$$\Err_{in}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathrm E_{Y^0}[L(Y_i^0,\hat f(x_i))\mid {\cal T}]\tag{7.18}\label{7.18}$$

$Y^0$ 表示我们在每个训练点 $x_i,i=1,2,\ldots,N$ 处观测 $N$ 个新响应变量的值．我们定义 $\Err_{in}$ 与训练误差 $\overline{\err}$ 的差为 乐观 (optimism)：

$$\mathrm {op}\equiv \mathrm{Err}_{in}-\overline{\err}\tag{7.19}\label{7.19}$$

一般情形下这是正的，因为 $\overline{\err}$ 经常是预测误差的向下有偏估计．最终，平均乐观是乐观在训练集上的期望

$$\omega \equiv E_{\mathbf y}(\mathrm{op})\tag{7.20}\label{7.20}$$

这里训练集中的预测变量是固定的，并且期望是对训练集的输出值而言的；因此我们已经用记号 $\E_{\mathbf y}$ 而不是 $\E_{\cal T}$．我们通常仅仅估计期望误差 $\omega$ 而不是 op，就像我们可以估计期望误差 $\Err$ 而不是条件误差 $\Err_{\cal T}$．

对于平方误差，0-1，以及其他损失函数，可以证明一般性的结论

$$\omega=\frac{2}{N}\sum\limits_{i=1}^N\Cov(\hat y_i,y_i)\tag{7.21}\label{7.21}$$

其中 $\Cov$ 表示协方差．因此 $\overline{\err}$ 低估真实误差的程度取决于 $y_i$ 影响它本身估计的程度．数据越难拟合，$\Cov(\hat y_i,y_i)$ 将越大，因此增大了乐观．练习 7.4 证明了平方损失函数时的结果，其中 $\hat y_i$ 为根据回归拟合好的值．对于 0-1 损失，$\hat y_i\in\{0,1\}$ 是在 $x_i$ 处的分类，另外对于熵损失，$\hat y_i\in[0,1]$ 是在 $x_i$ 处类别 1 的拟合概率．

weiya 注：Ex. 7.4

已解决，详见 Issue 27: Ex. 7.4.

总结一下，我们有重要的关系式

$$\E_{\mathbf y}(\Err_{in})=\E_{\mathbf y}(\overline{\err})+\frac{2}{N}\sum\limits_{i=1}^N\Cov(\hat y_i,y_i)\tag{7.22}\label{7.22}$$

如果 $\hat y_i$ 通过含 $d$ 个输入或者基函数的线性拟合得到，上面表达式可以简化．例如，对于可加误差模型 $Y=f(X)+\varepsilon$，

$$\sum\limits_{i=1}^N\Cov(\hat y_i,y_i) = d\sigma_{\varepsilon}^2\tag{7.23}\label{7.23}$$

因此

$$\E_{\mathbf y}(\Err_{in})=\E_{\mathbf y}(\overline{\err})+2\cdot\frac{d}{N}\sigma_\varepsilon^2\tag{7.24}\label{7.24}$$

weiya 注：\eqref{7.24}

Issue 27: Ex. 7.4 的解答中也给出了 \eqref{7.24} 的推导。

表达式 $\eqref{7.23}$ 是将在 7.6 节讨论的 有效参数个数 (effective number of parameters) 定义的基础．optimism 随着我们使用的输入或基函数的个数 $d$ 线性增长，但是当训练样本大小增大时会降低．$\eqref{7.24}$ 的其它版本对其它误差模型也近似成立，比如二值数据和熵损失．

估计预测误差的一种明显方法是先估计 optimism 然后加到训练误差 $\overline{\err}$ 上．下一节将要描述的方法—— $C_p$，AIC，BIC 以及其它方法——对于估计关于参数是线性的特殊估计类，都是通过这种方式实现．

相反地，将在本章后面描述的交叉验证以及自助法是对 样本外 (extra-sample) 误差 $\Err$ 直接估计的方法．这些一般工具可以用于任意损失函数以及非线性自适应拟合技巧．

样本内误差通常不是直接感兴趣的，因为特征的未来值不可能与它们训练集值一致．但是为了模型之间的比较，样本内误差是很方便的，并且经常能够有效地进行模型选择．原因在于误差的相对（而不是绝对）大小是我们所关心的．

weiya 注：

本节相似内容另见 Efron, B., & Hastie, T. (2016). Computer Age Statistical Inference. Cambridge University Press, 493. 一书中第 12.3 节。

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